Matematičko modelovanje putanje vodenih mlazova u zabavnim parkovima: primjena lagranžove interpolacije i mehanike projektila
DOI:
https://doi.org/10.63356/stes.ing.2025.003Ključne reči:
vodeni mlazovi, matematičko modeliranje, Lagranžova interpolacija, jednačina projektila, Diznijevi parkovi, gradske fontane, R² analizaApstrakt
Uvod: U ovom radu istražuje se fizika vodenih mlazova u atrakcijama Diznijevih parkova, sa akcentom na primjenu modela pri projektovanju sličnih fontana u parkovima. Cilj je matematički modelovati putanju vode radi određivanja optimalnog ugla i brzine izlaznog mlaza, koji omogućavaju da voda postigne maksimalnu visinu i pređe putanju bez pada na prolaznike. Pretpostavlja se da se putanja može opisati klasičnim jednačinama projektila uz zanemarivanje otpora vazduha.
Ciljevi: Potrebno je izvesti jednačinu putanje vodenog mlaza korištenjem Lagranžove interpolacije na osnovu koordinata dobijenih analizom fotografije tunela. Zatim treba odrediti optimalni ugao mlaznica i brzinu vode koja omogućava da voda dostigne željenu visinu i pređe tunel. Takođe je važno ispitati ograničenja modela, poput maksimalne visine pri realnim brzinama vode.
Materijal i metode: Istraživanje je provedeno kroz tri koraka. Prvo je urađena geometrijska analiza fotografije tunela u programu GeoGebra radi određivanja ključnih tačaka putanje. Zatim je putanja modelovana Lagranžovom interpolacijom radi pronalaženja kvadratne funkcije. Osnovna jednačina izvedena je iz klasičnih projektilnih modela. Treći korak obuhvata optimizaciju parametara pomoću jednačina za domet i maksimalnu visinu te provjeru tačnosti modela poređenjem R² vrijednosti.
Rezultati: Putanja vodenog mlaza može se opisati kvadratnim funkcijama f(x) = -0,061826x² + 2,882x (R² = 0,816) i g(x) = -0,04521x² + 2,23158x – 4,10237 (R² = 0,849). Optimalni parametri su ugao θ ≈ 65,89° i brzina v₀ ≈ 25,53 jedinica/s. Drugi model pokazuje veću tačnost, iako greške u ekstremima ukazuju na uticaj zanemarenih faktora.
Zaključak: Istraživanje potvrđuje da se putanja vodenog mlaza može modelovati klasičnim jednačinama projektila uz zadovoljavajuću tačnost. Dobijeni rezultati korisni su za projektovanje sigurnih i estetski privlačnih atrakcija. Budući radovi treba da uključe otpor vazduha radi veće preciznosti.
